ADS106TC Week 3 — Chapter 3: Permutations and Combinations 排列与组合

Module: ADS106TC Mathematics for AI and Data Science ｜ Lecturer: Jionglong Su Week 3 ｜ Based on Chapter 3 (2026.09.04) + Tutorial 3 ｜ Notes by 陈欣怡

本周主线：数系与封闭性（为证明打基础）→ 排列 → 组合 → 用排列/组合算概率。核心只有一个问题：“数清楚有多少种情况”，概率只是在计数之上做一个除法。

1️⃣ Number Systems 数系

1.1 四个基本数系

记号	名称	内容
$\mathbb{N}$	Natural numbers 自然数	$\{1,2,3,\cdots\}$；$\mathbb{N}_0 = \mathbb{N}\cup\{0\}$
$\mathbb{Z}$	Integers 整数	$\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}$
$\mathbb{Q}$	Rational numbers 有理数	$\frac{r}{s}$，其中 $r,s\in\mathbb{Z},\ s\neq 0$
$\mathbb{R}$	Real numbers 实数	整条实数轴，无法像 $\mathbb{N},\mathbb{Z}$ 那样列举

Prime number 质数：大于 1，且因数只有 1 和它本身（如 5, 7, 13, 29, 31）
Composite number 合数：大于 1 且不是质数（如 8, 24, 33）
包含关系：$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$，所以说”3 是整数”“−1 是有理数”“2 是实数”都正确
存在不是有理数的实数，例如 $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$

1.2 Example 2：循环小数一定是有理数（经典证明套路）

题目：设 $x = 3.123123123\cdots$（123 无限循环），证明 $x\in\mathbb{Q}$。

证明：

$$ x = 3.123123\cdots \quad (1) $$

$$ 1000x = 3123.123123\cdots \quad (2) $$

$$ (2)-(1)\Rightarrow 999x = 3120 \Rightarrow x = \frac{3120}{999}\ \in\mathbb{Q} \ \blacksquare $$

💡 我的理解：乘的倍数 = $10^{\text{循环节长度}}$（这里循环节 “123” 长 3 位，所以乘 $10^3$），相减后小数部分刚好抵消。任何循环小数都能这样化成分数。

1.3 Closure 封闭性

Definition（Closure）：设 $X$ 是一个数集，若对任意 $x,y\in X$：