高斯积分是一种高效的数值积分方法，其核心思想是选择适当的点和权重，以提高积分的准确性。这种方法不是简单地将积分区间均匀分割，而是在积分区间内精心选择特定点（如零点或正交多项式的极点），并为这些点分配适当的权重。这样做可以最大限度地减少误差，尤其是对于多项式函数。

高斯积分采用了一种策略，即在曲线上选择两个点来定义一条直线，该直线将正误差和负误差平衡。因此，在这条直线下评估的面积提供了积分的改进估算。

方法未定系数法（Method of Undetermined Coefficients）

高斯积分的目的是确定形如：

I≈c0f(x0)+c1f(x1)

的方程，其中c0 和c1 是权重，x0 和x1 是积分点。

与梯形法则的对比：不同于梯形法则使用固定的端点a 和b，高斯积分中的 x0 和 x1 并非固定端点而是需要确定的未知数。

四个未知数和四个条件：

• 首先，通过假设上述方程可以精确积分常数函数和线性函数，得到前两个条件。
• 其他两个条件通过将这种推理扩展到二次函数和三次函数来获取。