数值积分的两种形式
- 表格形式的值（Table of Values）：在实际应用中，我们可能只有函数在特定点的值，而不是函数的解析表达式。在这种情况下，积分必须基于这些离散点进行估算，通常会使用插值或拟合方法来估计整个函数，然后进行积分。
- 函数形式（Function）：如果我们知道函数的解析形式，可以在任何需要的点计算函数值 f(x)，这使得积分计算更为灵活和精确。可以根据需要调整积分点的密度，以达到所需的准确度。
高级数值积分技术
- Romberg积分：这是一种基于Richardson外推法和梯形规则的积分技术。Romberg积分通过多次迭代应用梯形规则并逐渐细化网格，使用外推来提高积分的精度。这种方法有效地利用了先前计算的结果，避免了不必要的重复计算，适用于需要高精度结果的情况。
- 高斯求积（Gauss Quadrature）：高斯求积是一种更高效的数值积分方法，通过选取特定的点（称为高斯点）和相应的权重来计算积分，这些点和权重是精心选择的，以最大化积分的准确度。高斯求积特别有效于处理光滑函数的积分，因为它可以在少量点上达到很高的精度。