• Special Matrices
• lterative Methods (syllabus c)
• Summary of Methods for Linear Algebraic Equations

Banded Matrices

Jacobi Method

GAUSS-SEIDEL

SUCCESSIVE OVER-RELAXATION (SOR)

• 在高斯-赛德尔方法的基础上，引入了一个松弛因子 ω，以期望加速收敛。
• 新的 xi 值是通过加权前一次迭代的 xi 值和基于最新迭代结果的 xi 计算值得到的。

Convergence

• 迭代方法的收敛性取决于系数矩阵的性质。高斯-赛德尔和雅可比方法在系数矩阵严格对角占优时通常能收敛。
• 收敛速度可能很慢，特别是矩阵条件数较高时。
• 收敛标准通常是基于连续迭代之间解的变化量，使用一定的阈值 ϵs 来确定何时停止迭代。

1. 对角占优（Diagonal Dominance）：
   • 当一个矩阵是严格对角占优时，即每一行（或列）上的对角元素的绝对值大于该行（或列）上其他所有元素的绝对值之和，雅可比和高斯-赛德尔方法保证会收敛。
   • 对角占优是保证这些迭代方法收敛的一个重要条件，因为它直接影响了迭代过程中解的稳定性和误差的传播。
2. 矩阵的谱半径（Spectral Radius）：
   • 对于迭代方法，特别是在分析雅可比方法的收敛性时，常看矩阵的迭代矩阵（即用于迭代的矩阵，如雅可比迭代中的迭代矩阵）的谱半径。如果这个谱半径小于1，则迭代方法收敛。