梯形法则（The Trapezoidal Rule）

梯形法则

是最简单的牛顿-寇次公式，用一阶多项式（直线）近似函数。积分估计为

• 图示中通过将曲线近似为三个梯形来估算整个区间的积分。这种方法虽简单，但精度较低，特别是函数变化较大时。

误差分析：梯形法则的基本思想是使用线性段（即直线）来近似复杂的曲线形状。因此，当函数曲线与线性近似显著不同时，将会出现误差。这个误差通常与函数的二阶导数有关

其中ξ是区间 [a, b] 内的某个点。

多次应用梯形法则

• 为了减少积分的误差，可以将较大的积分区间划分为多个较小的子区间，并在每个子区间上应用梯形法则。
• 多次应用梯形法则不仅可以提高积分估计的精度，而且可以更好地适应函数的局部特性，尤其是在函数变化较大的区域。

当积分区间被分割成更多的梯形时，总误差会减少。如果区间被分成n个梯形，总误差为：